Fibonacci- popularyzator i matematyk

Żyjemy w świecie liczb i obliczeń. Począwszy od budzika na który spoglądamy codziennie po przebudzeniu aż po numer telewizyjnego kanału na ekranie odbiornika , który wyłączamy kładąc się spać. Cały nasz dzień przepełniony jest mniejszym lub większym kontaktem z liczbami. Kupujemy za odliczoną kwotę bilet na autobus, wykręcamy numer telefonu do przyjaciela, bacznie śledzimy wskaźnik prędkościomierza w naszych samochodach oraz kontrolujemy stan naszych kont bankowych. A przecież to tylko kilka sporadycznych czynności jakie wykonujemy codziennie! Można powiedzieć, że nie potrafimy sobie wyobrazić życia bez liczb. A przecież znane nam z codzienności – cyfry, pojawiły się w cywilizacji zachodnioeuropejskiej niecałe tysiąc lat temu. Gdybyśmy przenieśli do czasów nam współczesnych wykształconego człowieka z roku tysięcznego, prawdopodobnie nie potrafiłby on zrozumieć liczby zero i z pewnością oblałby egzamin z arytmetyki na poziomie trzeciej klasy szkoły podstawowej! W niniejszym eseju chciałbym przedstawić dokonania Leonarda Pisano - człowieka który jako pierwszy w Europie zaczął upowszechniać indyjski system numeryczny i który zostawił po sobie coś, co do dnia dzisiejszego jest przedmiotem zarówno fascynacji jak i kontrowersji, coś, co odnajdywane jest zarówno w otaczającej nas przyrodzie, jak i w odległych galaktykach, a nawet w notowaniach światowych giełd.

O ile historia matematyki posiada w kręgu kultury zachodnioeuropejskiej bardzo bogatą tradycję, o tyle historia tego co dziś po prostu określa się mianem liczb rozpoczyna się dopiero w roku 1202, kiedy to we Włoszech zostaje wydane dzieło pod tytułem Liber Abaci (Księga Liczydła). Jej autorem jest Leonardo Pisano nazywany zarówno za życia jak i współcześnie Fibonaccim. Ów przydomek owiany jest mrokiem tajemnicy. Wiadomo bowiem, że ojciec Pisana miał na imię Bonacio, zaś „Fibonacci” to skrócona forma zwrotu „syn Bonaccia”. I pewnie komentowanie tych imion nie byłoby warte zachodu, gdyby nie fakt, że samo słowo „Bonaccio” znaczy tyle, co „prostaczek”, a „Fibonacci” znaczy „głupiec”. Dość osobliwe określenia zważywszy na to, że sam Bonaccio był konsulem reprezentującym Pizę, zaś jego syn został jednym z najbardziej znanych matematyków na świecie. Jak powstała Liber Abaci? Otóż, do napisania tego dzieła skłonił Fibonacciego pobyt w Bugii – bogatym algierskim mieście, w którym jego ojciec pełnił obowiązki pizańskiego konsula. Podczas tego pobytu, Fibonacci poznał pewnego arabskiego matematyka, który wprowadził go w arkana indoarabskiego systemu liczbowego. Poznawszy możliwości obliczeniowe tego systemu, Fibonacci postanowił pogłębić swoją wiedzę. W tym celu wyruszył w podróż wiodącą go przez takie kraje jak: Egipt, Syria, Grecja a także Sycylia oraz Prowansja. Liber Abaci jest dziełem niezwykłym, odsłaniającym przed czytelnikiem świat nowych liczb i nowych możliwości. Historia pokazała, że cyfry, o których pisał Fibonacci w swym dziele, szybko wyparły hebrajskie, greckie czy rzymskie systemy wykorzystujące litery do liczenia i przeprowadzania obliczeń. Akceptacja tego systemu nie obyła się jednak bez walki. Zwolenników indoarabskiego systemu określano mianem: algorytmistów (od łacińskiej wersji nazwiska wybitnego arabskiego matematyka Al.- Chuwarizmiego) natomiast obrońcy „starego porządku” otrzymali przydomek: abecyści. W owym sporze tych ostatnich przedstawiano często jako tych, którzy posiedli tajniki sztuki rachowania i obrońców przywilejów bractwa zawodowych rachmistrzów. Tymczasem pojawienie się metody indyjskiej nieuchronnie oznaczało niejako „demokratyzację” sztuki rachowania. Pozbawiona tajemnic prostota pozwalała bowiem stosować ją powszechnie.

Na wstępie Liber Abaci , autor instruuje czytelnika, jak na podstawie ilości cyfr w symbolicznym zapisie liczby ustalić, czy należy ona do rzędu jedności, czy jest wielokrotnością stu itd. Dalsze rozdziały poświęcone są bardziej skomplikowanym zagadnieniom. Można znaleźć fragmenty, w których wykorzystuje się liczby całkowite i ułamki, wyciąganie pierwiastków kwadratowych i pierwiastków wyższego rzędu, a nawet rozwiązania równań pierwszego i drugiego stopnia. Należy jednak zaznaczyć, że pomimo oryginalności oraz jakości wywodów zamieszczonych w tym dziele, Fibonacci zapewne nie zdobyłby wielkiego uznania poza wąskim gronem specjalistów ( a tym bardziej nie u cesarza Fryderyka II), gdyby nie fakt, że Liber Abaci nie jest tylko suchą prezentacją teorii, ale zawiera także bardzo wiele przykładów praktycznych zastosowań prezentowanych idei. Tu właśnie tkwi sekret tak entuzjastycznego przyjęcia tej pracy. W Liber Abaci znajdujemy bowiem takie innowacje jak: obliczanie marży zysku, ustalanie kursów wymiany walut, konwersja miar i wag, a także (pomimo tego, że lichwa ówcześnie nadal jeszcze w wielu miejscach była zabroniona) obliczenia związane z płatnością odsetek. Nie powinien zatem dziwić fakt, że rozgłos jaki stał się udziałem Fibonacciego zawiódł jego samego aż na dwór samego cesarza Fryderyka II, w którego obecności autor Liber Abaci rozwiązywał zagadnienia algebraiczne i równania trzeciego stopnia. Ta „ekspozycja” matematycznych talentów, zainspirowała Fibonacciego do napisania kolejnego dzieła: Liber Quadratorum (Księga kwadratów), które zostało zadedykowane cesarzowi.

Pomimo faktu, że Fibonacciego można traktować jako człowieka który „odkrył” i rozpowszechnił system indyjski na terenie Europy, to jednak on sam pozostaje w cieniu innego swojego odkrycia. Chodzi tu mianowicie o jeden z fragmentów Liber Abaci , który jest poświęcony pytaniu, ile królików urodzi się w ciągu jednego roku z jednej pary królików, przy następujących założeniach:

• nowa para staje się płodna po miesiącu życia
• każda płodna para rodzi jedną parę nowych królików w miesiącu
• króliki nigdy nie umierają

Otóż, Fibonacci ustalił, że pierwsza para królików doczeka się w ciągu roku 233 par potomstwa. Jednakże nie sam wynik stanowi tutaj istotę jego odkrycia. Z tego bowiem przykładu oraz z warunków rozmnażania się królików wnioskujemy, że liczba wszystkich par królików pod koniec każdego miesiąca będzie wynosiła: 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 Okazuje się, że każda liczba ciągu (za wyjątkiem pierwszego i drugiego wyrazu) jest sumą dwóch liczb poprzednich. Fibonacci uzyskał zatem pewien ciąg, który nie jest tylko zabawną ciekawostką. Spróbujmy bowiem podzielić którąkolwiek z liczb tego ciągu przez liczbę następującą bezpośrednio po niej. Począwszy od trzech otrzymamy zawsze: 0,625. Zaś od 89 wynik tego dzielenia wynosi: 0,618. Jeżeli natomiast dla odmiany: podzielimy którąkolwiek z liczb (za wyjątkiem dwóch pierwszych) przez liczbę bezpośrednio ją poprzedzającą, otrzymamy wynik: 1,6. Od liczby 144 dokładny wynik wynosi zawsze: 1,618. Mamy tutaj do czynienia z proporcją, która znana była już Grekom pod nazwą „złoty podział”. Złoty podział określa proporcje Partenonu, kształt kart do gry oraz kart kredytowych, jest to również stosunek długości ludzkiego ciała powyżej długości pępka, do długości ciała poniżej pępka. Ciąg odkryty przez Fibonacciego posiada także piękną wizualizację. Pozwala bowiem wyznaczyć proporcje oraz kształt pewnej spirali. Rysunek zamieszczony poniżej przedstawia, jak można stworzyć ową spiralę z ciągu kwadratów, których wymiary pozostają względem siebie w stosunkach wyznaczonych przez ten ciąg:

Aby uzyskać spiralę należy: wyrysować dwa kwadraty o tych samych wymiarach (nr: 6,7), następnie rysujemy kwadrat do nich przylegający o wymiarach dwukrotnie większych od wymiarów pierwszych kwadratów (nr: 5). Kolejnymi etapami jest rysowanie kwadratów: trzykrotnie większego (nr:4), pięciokrotnie większego (nr:3), ośmiokrotnie większego (nr:2) oraz trzynastokrotnie większego (nr:1). Warto zauważyć, że ów ciąg tworzy szereg prostokątów o proporcjach odpowiadających złotemu podziałowi. Wreszcie, ćwierć - koliste łuki łączą przeciwległe wierzchołki kwadratów, począwszy od najmniejszych, aż po kolejne kwadraty należące do owego ciągu. Spiralę, uderzająco podobną do wyrysowanej powyżej można dostrzec nie tylko w podręcznikach matematyki, ale (i to dość powszechnie) w przyrodzie. Podobny kształt zauważymy bowiem w budowie baranich rogów, wielu morskich muszlach a nawet w budowie niektórych galaktyk. Intrygujący związek przyrody z ciągiem Fibonacciego jest jeszcze bardziej niezwykły: liczba płatków wielu kwiatów, w tym także popularnej stokrotki jest na ogół liczbą Fibonacciego i wynosi: 3,5,8,13,21. Śledząc budowę szyszek możemy dostrzec w ich budowie spirale: prawoskrętne i lewoskrętne, i nieprzypadkowo ich liczba wynosi: 13 i 8. Podobnie zresztą wygląda sytuacja w wypadku pestek słonecznika które układają się wzdłuż 34 spiral prawoskrętnych i 55 spiral lewoskrętnych. Nie powinien zatem dziwić fakt, że liczb Fibonacciego zaczęto współcześnie szukać także w notowanich giełdowych. Przykładem jest tutaj model stworzony przez Ralpha Elliota, który utrzymywał, że rynki rosną i maleją falowo, zgodnie ze wzorcem który pokrywa się z ciągiem Fibonacciego. Widać zatem wyraźnie, że natura w jakiś szczególny sposób upodobała sobie liczby Fibonacciego wraz z zawartą w nich złotą proporcją.

Leonardo Pisano zapewne zdziwiłby się, jak bardzo rozpowszechniony w przyrodzie jest stworzony przez niego ciąg. Jego zaś zdziwienie potęgowałby fakt, że historia zapomniała o jego głównym zamierzeniu, jakim była popularyzacja systemu indyjskiego, zapamiętała natomiast pewien drobny fragment Liber Abaci , którego celem było wskazanie praktycznych zastosowań nowych cyfr. Ktoś kiedyś powiedział, że większość odkryć ludzkości wzięło się z przypadkowego „majsterkowania”, również i ciąg Fibonacciego można traktować jako „skutek uboczny” rozważań nad zupełnie czymś innym.